180602 初版 180602 更新
2次式 \(ax^2+bx+c\) を \(a(x-p)^2+q\) の形に変形することを，
2次式の
平方完成
といいます。
\((x+2)^2=x^2+4x+4\) ですから，
\(x^2+4x=(x+2)^2-4\), \(x^2+4x+3=(x+2)^2-1\)
\(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=x^2-3x+\dfrac{9}{4}\) ですから，
\(x^2-3x=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\),
\(x^2-3x-4=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\)
\(-\left(x-3\right)^2=-x^2+6x-9\) ですから，
\(-x^2+6x=-\left(x-3\right)^2+9\),
\(-x^2+6x+2=-\left(x-3\right)^2+11\)
\(2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=2x^2+x+\dfrac{1}{8}\) ですから，
\(2x^2+x+1=2\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\)
平方完成は，
\(ax^2+bx\) の 2つの項 を見て，\(a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\) が連想できるかどうかにかかってきます。
\(a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=ax^2+bx+\dfrac{b^2}{4a}\)
\(x^2+3x-1\) を変形したかったら
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\dfrac{9}{4}\) から
\(x^2+3x-1=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{13}{4}\)
\(-x^2+4x-1\) を変形したかったら
\(-\left(x-2\right)^2=-x^2+4x-4\) から
\(-x^2+4x-1=-\left(x-2\right)^2+3\)
\(3x^2-5x-2\) を変形したかったら
\(3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2=3x^2-5x+\dfrac{25}{12}\) から
\(3x^2-5x-2=3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{49}{12}\)
一般に，
\(f(x)=ax^2+bx+c\)\(=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)
放物線 \(y=f(x)\) の軸は 直線 \(x = -\dfrac{b}{2a}\),
頂点の座標は \(\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2}{4a}+c\right)\) です。