\(f(\theta)=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\) …① のとりうる値の範囲について
考えてみよう。
\(f(\theta)=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
この関数の周期は 2π である。
0 ≦ θ < 2π とする。
-2 ≦ f(θ) ≦ 2
\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\) なる θ を θ1
\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}\pi\) なる θ を θ2 とすると，
0 ≦ θ1 < 2π,
0 ≦ θ2 < 2π
0 ≦ θ ≦ π とする。
\(\dfrac{\pi}{3}\) ≦ θ+\(\dfrac{\pi}{3}\) ≦ π+\(\dfrac{\pi}{3}\)
0 ≦ θ
1 ≦ π だから，最大値は 2 をとる。
θ
2 > π に注意する。
| θ |
0 |
… |
θ1 |
… |
π |
| f(θ) |
f(0) |
↗ |
2 |
↘ |
f(π) |
また，① を用いて，
\(f(0)=\sqrt{3}\), \(f(\pi)=-\sqrt{3}\) より， 最小値は \(-\sqrt{3}\) である。
\(-\sqrt{3}\) ≦ f(θ) ≦ 2
0 ≦ θ ≦ \(\dfrac{\pi}{2}\) とする。
\(\dfrac{\pi}{3}\) ≦ θ+\(\dfrac{\pi}{3}\) ≦ \(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\)
0 ≦ θ
1 ≦ \(\dfrac{\pi}{2}\) だから，最大値は 2 をとる。
| θ |
0 |
… |
θ1 |
… |
\(\dfrac{\pi}{2}\) |
| f(θ) |
f(0) |
↗ |
2 |
↘ |
\(f(\dfrac{\pi}{2})\) |
また，① を用いて，
\(f(0)=\sqrt{3}\), \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\) より， 最小値は 1 である。
1 ≦ f(θ) ≦ 2