逐次・帰納的な考えがでてくるので，
数列のあとに学ぶのがよいのかもしれないし，
逆に，逐次・帰納的な考えはプリミティブな思想だから，
できるだけ早い時期からスパイラルに学んでいくほうがよい。
中学入試のほとんどない本県では，
数列の考えは決定的に弱いというのが私の見立てである。
例1
\(a_1=\sqrt{2}\)
\(a_1\) の 小数部分は \(\sqrt{2}-1\) である。
逆数(\(a_2\) とおく)を取ると \(a_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} > 1\)
\(a_2\) の整数部分と小数部分を考えることができる。
| n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
| 1 |
\(\sqrt{2}\) |
1 |
\(\sqrt{2}-1\) |
| 2 |
\(\dfrac{1}{q_1}=\sqrt{2}+1\) |
2 |
\(\sqrt{2}-1\) |
| 3 |
\(\dfrac{1}{q_2}=\sqrt{2}+1\) |
2 |
\(\sqrt{2}-1\) |
\(\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\cdots}}}\)
例2
\(a_1=2\sqrt{3}\)
(\(2\sqrt{3}\) と \(2\sqrt{3}-1\) は小数部分は等しい)
\(a_1\) の 小数部分は \(2\sqrt{3}-3\) である。
逆数(\(a_2\) とおく)を取ると \(a_2=\dfrac{1}{2\sqrt{3}-3} > 1\)
\(a_2\) の整数部分と小数部分を考えることができる。
| n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
| 1 |
\(2\sqrt{3}\) |
3 |
\(2\sqrt{3}-3\) |
| 2 |
\(\dfrac{1}{q_1}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\) |
2 |
\(\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}\) |
| 3 |
\(\dfrac{1}{q_2}=2\sqrt{3}+3\) |
6 |
\(2\sqrt{3}-3\) |
| 4 |
\(\dfrac{1}{q_3}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\) |
2 |
\(\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}\) |
| 5 |
\(\dfrac{1}{q_4}=2\sqrt{3}+3\) |
6 |
\(2\sqrt{3}-3\) |
\(2\sqrt{3}=3+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{2+\cdots}}}\)
2次の代数的数の連分数展開も面白い。
e (ネイピア数) や π (円周率) の連分数展開も面白い。
しばらくは，ここには書かない。
ネットで検索するより，計算してみよう。
この考えで，無理数を有理数近似することができる。
\(\sqrt{2}\) = 1.414213562373095…,
\(\dfrac{1393}{985}\) = 1.414213197969543…
\(2\sqrt{3}\) = 3.464101615137755…,
\(\dfrac{8733}{2521}\) = 3.464101547005157…
e = 2.718281828459045…,
\(\dfrac{2721}{1001}\) = 2.718281718281718…