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逐次・帰納的な考えがでてくるので,
数列のあとに学ぶのがよいのかもしれないし,
逆に,逐次・帰納的な考えはプリミティブな思想だから,
できるだけ早い時期からスパイラルに学んでいくほうがよい。
中学入試のほとんどない本県では,
数列の考えは決定的に弱いというのが私の見立てである。
例1
a1=√2
a1 の 小数部分は √2−1 である。
逆数(a2 とおく)を取ると a2=1√2−1>1
a2 の整数部分と小数部分を考えることができる。
n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
1 |
√2 |
1 |
√2−1 |
2 |
1q1=√2+1 |
2 |
√2−1 |
3 |
1q2=√2+1 |
2 |
√2−1 |
√2=1+12+12+12+⋯
例2
a1=2√3
(2√3 と 2√3−1 は小数部分は等しい)
a1 の 小数部分は 2√3−3 である。
逆数(a2 とおく)を取ると a2=12√3−3>1
a2 の整数部分と小数部分を考えることができる。
n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
1 |
2√3 |
3 |
2√3−3 |
2 |
1q1=2√3+33 |
2 |
2√3−33 |
3 |
1q2=2√3+3 |
6 |
2√3−3 |
4 |
1q3=2√3+33 |
2 |
2√3−33 |
5 |
1q4=2√3+3 |
6 |
2√3−3 |
2√3=3+12+16+12+⋯
2次の代数的数の連分数展開も面白い。
e (ネイピア数) や π (円周率) の連分数展開も面白い。
しばらくは,ここには書かない。
ネットで検索するより,計算してみよう。
この考えで,無理数を有理数近似することができる。
√2 = 1.414213562373095…,
1393985 = 1.414213197969543…
2√3 = 3.464101615137755…,
87332521 = 3.464101547005157…
e = 2.718281828459045…,
27211001 = 2.718281718281718…