連分数展開

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130324 初版 130324 更新
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はしたの考えを深めると，2つの方向がある。
連分数展開と小数展開である。

逐次・帰納的な考えがでてくるので，数列のあとに学ぶのがよいのかもしれないし，
逆に，逐次・帰納的な考えはプリミティブな思想だから，できるだけ早い時期からスパイラルに学んでいくほうがよい。
中学入試のほとんどない本県では，数列の考えは決定的に弱いというのが私の見立てである。

例1

$a_1=\sqrt{2}$

$a_1$ の小数部分は

$\sqrt{2}-1$ である。
逆数(

$a_2$ とおく)を取ると

$a_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} > 1$

$a_2$ の整数部分と小数部分を考えることができる。

$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\cdots}}}$

例2

$a_1=2\sqrt{3}$ (

$2\sqrt{3}$ と

$2\sqrt{3}-1$ は小数部分は等しい)

$a_1$ の小数部分は

$2\sqrt{3}-3$ である。
逆数(

$a_2$ とおく)を取ると

$a_2=\dfrac{1}{2\sqrt{3}-3} > 1$

$a_2$ の整数部分と小数部分を考えることができる。

$2\sqrt{3}=3+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{2+\cdots}}}$

2次の代数的数の連分数展開も面白い。
e (ネイピア数) や π (円周率) の連分数展開も面白い。
しばらくは，ここには書かない。
ネットで検索するより，計算してみよう。

この考えで，無理数を有理数近似することができる。

$\sqrt{2}$ = 1.414213562373095…,

$\dfrac{1393}{985}$ = 1.414213197969543…

$2\sqrt{3}$ = 3.464101615137755…,

$\dfrac{8733}{2521}$ = 3.464101547005157…
e = 2.718281828459045…,

$\dfrac{2721}{1001}$ = 2.718281718281718…

無理数の連分数展開