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130324 初版 130324 更新
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はしたの考えを深めると,2つの方向がある。
連分数展開小数展開である。
逐次・帰納的な考えがでてくるので, 数列のあとに学ぶのがよいのかもしれないし,
逆に,逐次・帰納的な考えはプリミティブな思想だから, できるだけ早い時期からスパイラルに学んでいくほうがよい。
中学入試のほとんどない本県では, 数列の考えは決定的に弱いというのが私の見立てである。

例1

a1=2
a1 の 小数部分は 21 である。
逆数(a2 とおく)を取ると a2=121>1
a2 の整数部分と小数部分を考えることができる。
n an pn: anの整数部分 qn: anの小数部分
1 2 1 21
2 1q1=2+1 2 21
3 1q2=2+1 2 21
2=1+12+12+12+

例2

a1=23  (23231 は小数部分は等しい)
a1 の 小数部分は 233 である。
逆数(a2 とおく)を取ると a2=1233>1
a2 の整数部分と小数部分を考えることができる。
n an pn: anの整数部分 qn: anの小数部分
1 23 3 233
2 1q1=23+33 2 2333
3 1q2=23+3 6 233
4 1q3=23+33 2 2333
5 1q4=23+3 6 233
23=3+12+16+12+
2次の代数的数の連分数展開も面白い。
e (ネイピア数) や π (円周率) の連分数展開も面白い。
しばらくは,ここには書かない。
ネットで検索するより,計算してみよう。
この考えで,無理数を有理数近似することができる。
2 = 1.414213562373095…,  1393985 = 1.414213197969543…
23 = 3.464101615137755…,  87332521 = 3.464101547005157…
e = 2.718281828459045…,  27211001 = 2.718281718281718…