\(U_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nr^{k-1}}\) とおく
等比数列の和の公式 \(U_n=\dfrac{r^n-1}{r-1}\)
\(T_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nkr^{k-1}}\) とおく
\(rT_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nkr^{k}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)r^{k-1}}\) … 番号振り替え
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}(k-1)r^{k-1}+nr^n}\) … 調整
\(=T_n-U_n+nr^n\)
\(T_n=\dfrac{nr^n-U_n}{r-1}\)
\(=\dfrac{((r-1)n-1)r^n+1}{(r-1)^2}\)
やっていることは同じ
\(T_n-T_{n-1}=
\dfrac{((r-1)n-1)r^n+1}{(r-1)^2}
-\dfrac{((r-1)(n-1)-1)r^{n-1}+1}{(r-1)^2}\)
\(=\dfrac{r^{n-1}}{(r-1)^2}
(r(r-1)n-r-(r-1)(n-1)+1)\)
\(=\dfrac{r^{n-1}}{(r-1)^2}\cdot n(r-1)^2=nr^{n-1}\)