等差×等比型の和具体的な計算

141112 初版 141112 更新

例 1

S = 1・1 + 2・2 + 3・2² + … + n・2^n-1

2S - S を考える。

2S - S = n・2ⁿ - U　 (こちらの式を用いた)
ここで U = 1 + 2 + 2² + … + 2^n-1

よって，

$S = n\cdot 2^n-(2^n-1)$

$= (n-1)\cdot 2^n+1$

例 2

S = 1・1 + 2・3 + 3・3² + … + n・3^n-1

3S - S を考える。

3S - S = n・3ⁿ - U　 (こちらの式を用いた)
ここで U = 1 + 3 + 3² + … + 3^n-1

よって，

$2S = n\cdot 3^n-\dfrac{3^n-1}{2}$
i.e.

$S = \dfrac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{4}$

よくある記述はこちら

例 3
一般の等差×等比型は，基本型と等比数列の和で表すことができる。

S = 1 + 3・3 + 5・3² + … + (2n-1)・3^n-1

まず，S = 2T - U … ①
ここで，
T は基本型 T = 1・1 + 2・3 + 3・3² + … + n・3^n-1
U は等比数列の和 U = 1 + 3 + 3² + … + 3^n-1

なぜなら，

$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n (2k-1)\cdot 3^{k-1}}$

$\displaystyle{=2\sum_{k=1}^n k\cdot 3^{k-1} - \sum_{k=1}^n 3^{k-1}}$ だから

基本型については 3T - T を考えると，
2T = n・3ⁿ - U　 (こちらの式を用いた)
すると ① は S = n・3ⁿ - 2U

よって，

$S = n\cdot 3^n-(3^n-1)$

$= (n-1)\cdot 3^n+1$

よくある記述はこちら

例 4
一般の等差×等比型は
基本型と等比数列の和で表すことができる。

$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n(4k-3)\cdot 5^{k-1}}$

まず，S = 4T - 3U … ①
ここで，
T は基本型 T = 1・1 + 2・5 + 3・5² + … + n・5^n-1
U は等比数列の和 U = 1 + 5 + 5² + … + 5^n-1

なぜなら，

$\displaystyle{S=4\sum_{k=1}^n k\cdot 5^{k-1} - 3\sum_{k=1}^n 5^{k-1}}$ だから

基本型については 5T - T を考えると，
4T = n・5ⁿ - U　 (こちらの式を用いた)
すると ① は
S = n・5ⁿ - 4U

よって，

$S = n\cdot 5^n-(5^n-1)$

$= (n-1)\cdot 5^n+1$

例 5

T = 3・2 + 5・2² + 7・2³ + … + (2n+1)・2ⁿ

まず，S = 4T + 2U … ①
ここで，
T は基本型 T = 1・1 + 2・2 + 3・2² + … + n・2^n-1
U は等比数列の和 U = 1 + 2 + 2² + … + 2^n-1

なぜなら，

$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n (4k+2)\cdot 2^{k-1}}$

$\displaystyle{=4\sum_{k=1}^n k\cdot 2^{k-1} + 2\sum_{k=1}^n 2^{k-1}}$ だから

基本型については 2T - T を考えると，
T = n・2ⁿ - U　 (こちらの式を用いた)
すると ① は
S = 4n・2ⁿ - 2U

よって，

$S = 4n\cdot 2^n-2(2^n-1)$

$= (2n-1)\cdot 2^{n+1}+2$