141112 初版 141112 更新
例 1
S = 1・1 + 2・2 + 3・22 + … + n・2n-1
2S - S を考える。
2S - S = n・2
n - U (
こちらの式を用いた)
ここで U = 1 + 2 + 2
2 + … + 2
n-1
よって，
\(S = n\cdot 2^n-(2^n-1)\)
\(= (n-1)\cdot 2^n+1\)
例 2
S = 1・1 + 2・3 + 3・32 + … + n・3n-1
3S - S を考える。
3S - S = n・3
n - U (
こちらの式を用いた)
ここで U = 1 + 3 + 3
2 + … + 3
n-1
よって，
\(2S = n\cdot 3^n-\dfrac{3^n-1}{2}\)
i.e. \(S = \dfrac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{4}\)
よくある記述は
こちら
例 3
一般の等差×等比型は，
基本型と等比数列の和で表すことができる。
S = 1 + 3・3 + 5・32 + … + (2n-1)・3n-1
まず，S = 2T - U … ①
ここで，
T は 基本型
T = 1・1 + 2・3 + 3・3
2 + … + n・3
n-1
U は 等比数列の和
U = 1 + 3 + 3
2 + … + 3
n-1
なぜなら，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n (2k-1)\cdot 3^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=2\sum_{k=1}^n k\cdot 3^{k-1} - \sum_{k=1}^n 3^{k-1}}\) だから
基本型については 3T - T を考えると，
2T = n・3
n - U (
こちらの式を用いた)
すると ① は
S = n・3
n - 2U
よって，
\(S = n\cdot 3^n-(3^n-1)\)
\(= (n-1)\cdot 3^n+1\)
よくある記述は
こちら
例 4
一般の等差×等比型は
基本型と等比数列の和で表すことができる。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n(4k-3)\cdot 5^{k-1}}\)
まず，S = 4T - 3U … ①
ここで，
T は 基本型
T = 1・1 + 2・5 + 3・5
2 + … + n・5
n-1
U は 等比数列の和
U = 1 + 5 + 5
2 + … + 5
n-1
なぜなら，
\(\displaystyle{S=4\sum_{k=1}^n k\cdot 5^{k-1} - 3\sum_{k=1}^n 5^{k-1}}\) だから
基本型については 5T - T を考えると，
4T = n・5
n - U (
こちらの式を用いた)
すると ① は
S = n・5
n - 4U
よって，
\(S = n\cdot 5^n-(5^n-1)\)
\(= (n-1)\cdot 5^n+1\)
例 5
T = 3・2 + 5・22 + 7・23 + … + (2n+1)・2n
まず，S = 4T + 2U … ①
ここで，
T は 基本型
T = 1・1 + 2・2 + 3・2
2 + … + n・2
n-1
U は 等比数列の和
U = 1 + 2 + 2
2 + … + 2
n-1
なぜなら，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n (4k+2)\cdot 2^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=4\sum_{k=1}^n k\cdot 2^{k-1} + 2\sum_{k=1}^n 2^{k-1}}\) だから
基本型については 2T - T を考えると，
T = n・2
n - U (
こちらの式を用いた)
すると ① は
S = 4n・2
n - 2U
よって，
\(S = 4n\cdot 2^n-2(2^n-1)\)
\(= (2n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)