すべての辺の長さが1 である
正四角錐E-ABCDを考える。
すなわち，四角形ABCDは正方形で，
4つの三角形ABE, BCE, CDE, ADE は正三角形である。
\(\vec{p}=a\overrightarrow{\rm AB}+b\overrightarrow{\rm AD}+c\overrightarrow{\rm AE}\) が
平面CDE と垂直であるとき， a : b : c を求めよ。
\(\vec{p}\) が 平面CDE と垂直であることは，
\(\vec{p}\) が 平面CDE 上の任意のベクトルと垂直であるということ
したがって，
\(\vec{p}\) と \(\overrightarrow{\rm CD}\) は垂直である。
CD と AB は平行であるから，
\(\vec{p}\) と \(\overrightarrow{\rm AB}\) は垂直である。
i.e. \(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) … ①
平面CDE 上のベクトルなら何でもいいのであるが，
計算しやすいから \(\overrightarrow{\rm CD}\)
(実は \(\overrightarrow{\rm AB}\)) を選んだ。
ここで，基本としているベクトルの内積の値を求めてみる。
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=1\),
\(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=1\),
\(\overrightarrow{\rm AE}\cdot\overrightarrow{\rm AE}=1\)
(辺の長さが1だから)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=0\)
(四角形ABCD は正方形だから)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac{1}{2}\)
(三角形ABE は辺の長さが1の
正三角形だから)
同じく，
\(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac{1}{2}\)
\(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) … ①
⇔ \(a+\dfrac{1}{2}c=0\) … ②
\(\vec{p}\) と \(\overrightarrow{\rm DE}\) は垂直である。
⇔ \(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm DE}=0\)
⇔ \(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AE}\)
平面CDE 上のベクトルなら何でもいいのであるが，
計算しやすいから \(\overrightarrow{\rm DE}\) を選んだ。
ここで，
\(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=b+\dfrac{1}{2}c\) … ③
\(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}b+c\) … ④
だから，
\(\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=\vec{p}\cdot\overrightarrow{\rm AE}\)
⇔ \(a-b+c=0\) … ⑤
② ⑤ より，
a : b : c = (-1) : 1 : 2
この計算も慣れないと分からないかもしれない。