すべての辺の長さが1 である
正四角錐E-ABCDを考える。
すなわち，四角形ABCDは正方形で，
4つの三角形ABE, BCE, CDE, ADE は正三角形である。
さらに，三角形CDEに辺の長さが1である正四面体F-CDEをはりつける。
\(\overrightarrow{\rm AF}\) を
\(\overrightarrow{\rm AB}\),
\(\overrightarrow{\rm AD}\),
\(\overrightarrow{\rm AE}\) で表せ。
Fから平面CDE に垂線FP を下ろすと，
P は 三角形CDE の外心で 正三角形だから重心G と一致する。
つまり，h = FG として，
\(\overrightarrow{\rm GF}
=\dfrac{h}{\sqrt{6}}\left(
-\overrightarrow{\rm AB}
+\overrightarrow{\rm AD}
+2\overrightarrow{\rm AE}\right)\)
とかける。
また，Gについて，\(\overrightarrow{\rm FG}
=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{\rm FC}+\overrightarrow{\rm FD}
+\overrightarrow{\rm FE}\right)\)
正射影の考えを
用いて，
\(\left|\overrightarrow{\rm FG}\right|^2
=\overrightarrow{\rm FG}\cdot\overrightarrow{\rm FC}\)
辺の長さが1の
正四面体だから
\(\overrightarrow{\rm FC}\cdot\overrightarrow{\rm FD}
=\overrightarrow{\rm FD}\cdot\overrightarrow{\rm FE}
=\overrightarrow{\rm FE}\cdot\overrightarrow{\rm FC}
=\dfrac{1}{2}\)
\(h^2=\left|\overrightarrow{\rm FG}\right|^2
=\dfrac{2}{3}\),
\(h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\overrightarrow{\rm GF}
=\dfrac{1}{3}\left(
-\overrightarrow{\rm AB}
+\overrightarrow{\rm AD}
+2\overrightarrow{\rm AE}\right)\)
\(\overrightarrow{\rm AG}
=\dfrac{1}{3}\left(
\overrightarrow{\rm AB}
+2\overrightarrow{\rm AD}
+\overrightarrow{\rm AE}\right)\)
\(\overrightarrow{\rm AF}
=\overrightarrow{\rm AG}+\overrightarrow{\rm GF}
=\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm AE}\)
甘えず独力で，諦めずやり遂げなくてはならない。
何はなくとも計算ry