すべての辺の長さが1 である
正四角錐E-ABCDを考える。
すなわち，四角形ABCDは正方形で，
4つの三角形ABE, BCE, CDE, ADE は正三角形である。
さらに，三角形CDEに辺の長さが1である正四面体F-CDEをはりつける。
H を 辺EC の中点とする。
三角形AFHの面積を求めよ。
\(\overrightarrow{\rm HA}
=-\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{\rm AB}
+\overrightarrow{\rm AD}
+\overrightarrow{\rm AE}\right)\)
\(\overrightarrow{\rm HF}
=\overrightarrow{\rm HA}+\overrightarrow{\rm AF}
=-\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{\rm AB}
-\overrightarrow{\rm AD}
-\overrightarrow{\rm AE}\right)\)
ひたすら計算すると，
\(\overrightarrow{\rm HA}\cdot\overrightarrow{\rm HA}
=\dfrac{5}{4}\),
\(\overrightarrow{\rm HF}\cdot\overrightarrow{\rm HF}
=\dfrac{3}{4}\),
\(\overrightarrow{\rm HA}\cdot\overrightarrow{\rm HF}
=-\dfrac{1}{2}\)
ひたむきに，
\(\triangle{\rm AFH}
=\dfrac{1}{2}\sqrt{
\left|\overrightarrow{\rm HA}\right|^2
\left|\overrightarrow{\rm HF}\right|^2
-\left(\overrightarrow{\rm HA}\cdot\overrightarrow{\rm HF}\right)^2}
=\dfrac{1}{2}\sqrt{
\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}}
=\dfrac{\sqrt{11}}{8}\)
甘えず独力で，諦めずやり遂げなくてはならない。
何はなくとも計算ry