3元連立1次方程式
\(\left\{\begin{array}{l}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=p_1\cr
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=p_2\cr
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=p_3\cr
\end{array}\right.\) の解について考察しよう。
下2つの式より，
\(
\left\{\begin{array}{l}
a_{22}y+a_{23}z=p_2-a_{21}x\\
a_{32}y+a_{33}z=p_3-a_{31}x\\
\end{array}
\right.
\)で，
\(\Delta_{11}=
\begin{array}{|cc|}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
\)とおいて，
クラーメルの公式により，
\(\Delta_{11}\cdot y=
\begin{array}{|cc|}
p_2-a_{21}x & a_{23}\\
p_3-a_{31}x & a_{33}\\
\end{array}
=
-x\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{array}
+\begin{array}{|cc|}
p_2 & a_{23}\\
p_3 & a_{33}\\
\end{array}
\)
\(\Delta_{11}\cdot z=
\begin{array}{|cc|}
a_{22} & p_2-a_{21}x\\
a_{32} & p_3-a_{31}x\\
\end{array}
=
x\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{array}
-\begin{array}{|cc|}
p_2 & a_{22}\\
p_3 & a_{32}\\
\end{array}
\)
(
行列式の性質を使っている)
\(
x\left(
a_{11}\cdot \Delta_{11}
-a_{12}\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{array}
+a_{13}\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{array}
\right)\)
\(=
p\cdot \Delta_{11}
-a_{12}\ \begin{array}{|cc|}
p_2 & a_{23}\\
p_3 & a_{33}\\
\end{array}
+a_{13}\ \begin{array}{|cc|}
p_2 & a_{22}\\
p_3 & a_{32}\\
\end{array}
\)
記号の作り方を考えると，
\(
\begin{array}{|ccc|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
=a_{11}\ \begin{array}{|cc|}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
-a_{12}\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{array}
+a_{13}\ \begin{array}{|cc|}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{array}
\)
とするのが妥当だろう。
逆にこれを3次の行列式の余因子展開という。
そして，
\(
\begin{array}{|ccc|}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}
=a_{11}a_{22}a_{33}
+a_{12}a_{23}a_{31}
+a_{13}a_{21}a_{32}
-a_{11}a_{23}a_{32}
-a_{12}a_{21}a_{33}
-a_{13}a_{22}a_{31}
\)
であるが，サラスの方法という覚え方がある。
3次の行列式にも2次と同様の性質がある。
とりあえず，
行列式は，連立1次方程式の
解の存在についての条件を語る式である。