関数の極限

http://goo.gl/MFRFj 130202 初版

同じような記号を使うが，この頁では関数の極限を記述する。
例から学ぶ数Ⅲということで，ここでも記号の説明よりは，例とそうなる理由を述べていく。

目標のためにはささやかなふたつの極限 (これとこれ)が必要である。
そのためだけに技巧的な極限の計算をするのはどうかと思う。
むしろ，技巧を離れた極限の意味と，ためになる例をいくつか知っていたほうがいい。
技巧もどこかにまとめようとは思うが(例題ということにしよう)，数Ⅲは例がますます重要である。
気が向いたら説明もつけようと思う。

例1

\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0}\), \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}\)

なぜなら，
x は十分大きな正の数でも，ある程度の負の数よりも小さな数でも，
\(-1\leqq \sin x\leqq 1\) より \(-\dfrac{1}{x}\leqq \dfrac{\sin x}{x}\leqq \dfrac{1}{x}\)

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1}\)

説明はこちら

例2

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=2}\)

なぜなら，
\(\dfrac{\sin 2x}{x}=\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot 2\), また，x→0 と 2x→ 0 は同じことだから
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 2x}{x}}\) \(\displaystyle{=2\cdot \lim_{2x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=2}\)

例3

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2x-\pi}=-\dfrac{1}{2}}\)

なぜなら，\(t=x-\dfrac{\pi}{2}\) とおくと，
\(\dfrac{\cos x}{2x-\pi}=\dfrac{\cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right)}{2t}\) \(=\dfrac{\sin t}{t}\cdot\left(\dfrac{-1}{2}\right)\), また，\(x→\dfrac{\pi}{2}\) と t→ 0 は同じことだから
参考こちら

こんな感じで，例を挙げていく。