131201 初版 141010 更新
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) の定義は
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta\) であった。
3点 O(0, 0), A(a, b), B(c, d) をとって，
\(\vec{a}=\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\vec{b}=\overrightarrow{\rm OB}\), とおく。
内積と三角形より
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2}{2}\)
ここで，
OA2 + OB2 - AB2
= (a2 + b2) + (c2 + d2)
- ((c - a)2 + (d - b)2)
= 2(ac + bd)
すなわち，
\(\vec{a}=(a_1, a_2)\), \(\vec{b}=(b_1, b_2)\) のとき
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これが，定義だと思ってはいけない。
内積が1次形式になるのが面白い。
一般に，
\(\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}\),
\(\vec{b}=b_1\vec{e_1}+b_2\vec{e_2}\) とする。
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=
a_1b_1|\vec{e_1}|^2+
(a_1b_2+a_2b_1)\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}+
a_2b_2|\vec{e_2}|^2\)
成分で表しているということは，
\(\vec{e_1}\), \(\vec{e_2}\) が
単位ベクトルで，垂直であることが効いている。