放物線 \(y=2x^2+3x+c\) は \(c=\dfrac{9}{8}\) のとき，
点\(\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right)\) で x軸に接します。
関数の値は，\(x = -\dfrac{3}{4}\) で 最小となります。
放物線の軸は，直線 \(x=-\dfrac{3}{4}\) です。
\(2x^2+3x+\dfrac{9}{8}=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2\) と変形できるからです。
2次式 \(ax^2+bx+c\) を \(a(x-p)^2+q\) の形に変形することを，
2次式の
平方完成
といいます。
平方完成された式を見るといろいろなことがわかります。
\(f(x)=a(x-p)^2+q\) において，
f(p + h) = f(p - h) ですから，グラフ y = f(x) の軸は x = p です。
a が正の数のとき，
x ≧ p では，単調に増加，
x ≦ p では，単調に減少します。
したがって，x = p で最小値 q をとります。
a が負の数のとき，
x ≧ p では，単調に減少，
x ≦ p では，単調に増加します。
したがって，x = p で最大値 q をとります。
グラフでは頂点の座標が (p, q) だということです。
また，この放物線は \(y = ax^2\) のグラフを
x軸方向 p, y軸方向 q だけ平行移動したものになります。