導関数の求め方 (1)

導関数の定義を次の式にします。
\(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
この式をもとに，いろいろな関数の導関数を求めてみます。

\((x)^\prime = 1\)
\(f(x)=x\) とすると，
\(f(x+h)-f(x)=h\)
よって，\(f^\prime(x)=1\)

\((x^2)^\prime = 2x\)
\(f(x)=x^2\) とすると，
\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^2\)
よって，\(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}\)

\((x^3)^\prime = 3x^2\)
\(f(x)=x^3\) とすると，
\(f(x+h)-f(x)=3x^2h+3xh^2+h^3\)
よって， \(\displaystyle{f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2}\)

n を自然数とするとき，\((x^n)^\prime = nx^{n-1}\)
数学的帰納法によって証明します。
積の導関数の性質 によって， \((x^{k+1})^\prime = (x\cdot x^k)^\prime\) \(= 1\cdot x^k + x\cdot (x^k)^\prime\)
帰納法の仮定 \((x^k)^\prime = kx^{k-1}\) を用いると,
\(1\cdot x^k + x\cdot (x^k)^\prime\) \(=x^k + x\cdot kx^{k-1}\)
整理して，\(x^k + x\cdot kx^{k-1}=(k+1)x^k\)
よって，n = k で成り立つと仮定すると， n = k + 1 で成り立つことがいえました。

n を自然数とするとき， \((x^{\frac{1}{n}})^\prime = \dfrac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\)
\(y = x^{\frac{1}{n}}\) とすると， \(x= y^n\)
\(\dfrac{dx}{dy}=ny^{n-1}\)
導関数の性質 によって， \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{n}y^{1-n}\)
したがって， \((x^{\frac{1}{n}})^\prime = \dfrac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}\)

m, n を自然数とするとき， \((x^{\frac{m}{n}})^\prime = \dfrac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}\)
\(y = u^m\), \(u=x^{\frac{1}{n}}\) とすると，
導関数の性質 によって， \(\dfrac{dy}{dx}=mu^{m-1}\cdot\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\)
\(mu^{m-1}\cdot\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} =\dfrac{m}{n}x^{\frac{m-1}{n}}x^{\frac{1-n}{n}}\)
したがって， \((x^{\frac{m}{n}})^\prime = \dfrac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}}\)

指数の極限を考えると，
α を実数の定数とするとき，\((x^\alpha)^\prime = \alpha x^{\alpha-1}\)