\((\log x)^\prime = \dfrac{1}{x}\)
\(f(x)=\log x\) とすると
\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{1}{x}
\cdot\log\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\)
ここで，\(\dfrac{x}{h}=t\) とおいて，
h を限りなく 0 に近づけることと，t を限りなく大きくすることは同じことです。
(x は正の数です。)
ネイピア数の定義により，
\(\displaystyle{\lim_{t\rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}=e}\)
自然対数の定義により log e = 1 ですから，
成り立つことがいえました。