a の n 個の積を aⁿ で表す。

表 1

x	1	2	3	4	5
ax	a	a2	a3	a4	a5

表 1 を補間する。

表 2

x	0	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{2}{3}\)	1	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{5}{3}\)	2	\(\dfrac{7}{3}\)	\(\dfrac{8}{3}\)	3
ax	1	A	B	a	C	D	a2	E	F	a3

\(A=1\times r\),  \(B=A\times r\),  \(a=B\times r\) とみなすのが妥当で
これより \(r^3=a\)
すなわち，\(r=\sqrt[3]{a}\), (参考 累乗根 )
\(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\)
これは，指数法則を乱さない。
一般に，\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\),   \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

表 3

x	0	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{2}{3}\)	1	\(\dfrac{4}{3}\)	\(\dfrac{5}{3}\)	2	\(\dfrac{7}{3}\)	\(\dfrac{8}{3}\)	3
ax	1	\(\sqrt[3]{a}\)	\(\sqrt[3]{a^2}\)	a	\(a\sqrt[3]{a}\)	\(a\sqrt[3]{a^2}\)	a2	\(a^2\sqrt[3]{a}\)	\(a^2\sqrt[3]{a^2}\)	a3

下段は，帯分数を想起する。

実数 r を極限とする有理数の数列 { r_n }に対して，
a^r は a^r_n の極限値とする。