数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も，
表を用いて書くのがよいと思う。
逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは，
逆の対応
である。
指数関数には次のような性質があった。
指数法則
ここで \(M=a^m\), \(N=a^n\), \(MN=a^{m+n}\)
(A) \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
(B) \((a^m)^n=a^{mn}\)
対数関数は，この
逆関数
だから，表の上下を入れ替えて，
対数の性質
| x |
M |
N |
MN |
| \(\log_ax\) |
m |
n |
m+n |
ここで \(m=\log_aM\), \(n=\log_aN\), \(m+n=\log_a{MN}\)
(A) \(\log_aM+\log_aN=\log_a{MN}\)
(B) (A)を繰り返し用いると, \(p\log_aM=\log_aM^p\)
例:
\(\log_{10}2+\log_{10}5=\log_{10}10=1\)
例:
\(1000 < 2^{10}=1024 < 10000\)より，\(\dfrac{3}{10} < \log_{10} 2 < \dfrac{4}{10}\)
(かなり大雑把だが)
2のn乗の対数 r を考えると，\(\dfrac{3}{10}n < r < \dfrac{4}{10}n\)
n=27のとき，
\(\dfrac{3}{10}n=8.1\)である。
一億は\(10^8\)であるから，
\(2^{27}\)は一億を超える。
つづく