121224 初版
トップページ

指数関数\(y=2^x\),  \(y=4^x\),  \(y=8^x\) を考察してみよう。

2のx乗
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
\(2^x\) … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
4のx乗
x … -1 \(-\dfrac{1}{2}\) 0 \(\dfrac{1}{2}\) 1 \(\dfrac{3}{2}\) 2 …
\(4^x\) … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
8のx乗
x … \(-\dfrac{2}{3}\) \(-\dfrac{1}{3}\) 0 \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{2}{3}\) 1 \(\dfrac{4}{3}\) …
\(8^x\) … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
\(4096=2^{12}=4^6=8^4\)
一般に， \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2\),  \(8^x=(2^3)^x=2^{3x}=(2^x)^3\)

(方程式や不等式でもよく使われる変形である。)
これは，

指数関数は実質一種類しかないことを物語っている。
式での表現は，
\(b=a^{\log_ab}\)が成り立つから，
\(b^x=(a^{\log_ab})^x=a^{x\log_ab}=(a^x)^{\log_ab}\)
bを底とする指数関数の値は，
aを底とする指数関数の値が分かれば，それを\(\log_ab\)乗すればよいということである。
では，底の代表としては何を選べばよいのだろうか。
\(b^x=a^{x\log_ab}\) の両辺 c を底とする対数をとる。
\(\log_c\left(b^x\right)=\log_c\left(a^{x\log_ab}\right)\)
\(x\log_c b=\left(x\log_ab\right)\log_ca\)

底の変換公式と呼ばれるものである。

\(\log_c b=\left(\log_ca\right)\left(\log_ab\right)\),  \(\log_a b=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)

問題を解くために定理，性質，公式があるわけではない。
数学の中に性質や定理があって， それを問うために問題があるのだ。

対数関数\(y=\log_2x\),  \(y=\log_4x\),  \(y=\log_8x\) を考察してみよう。

\(\log_2x\)
x … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
\(\log_2x\) … -2 -1 0 1 2 3 4 …
\(\log_4x\)
x … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
\(\log_4x\) … -1 \(-\dfrac{1}{2}\) 0 \(\dfrac{1}{2}\) 1 \(\dfrac{3}{2}\) 2 …
\(\log_8x\)
x … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) 1 2 4 8 16 …
\(\log_8x\) … \(-\dfrac{2}{3}\) \(-\dfrac{1}{3}\) 0 \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{2}{3}\) 1 \(\dfrac{4}{3}\) …

式での表現は，

\(\log_4x=\dfrac{\log_2x}{\log_24}=\dfrac{1}{2}\log_2x\),  \(\log_8x=\dfrac{\log_2x}{\log_28}=\dfrac{1}{3}\log_2x\)
対数関数は実質一種類しかないことを物語っている。
aを底とする対数関数の値は， cを底とする対数関数の値が分かれば，それを\(\log_ca\)で割ればよいということである。
では，底の代表 c としては何を選べばよいのだろうか。
グラフ1 \(y=\log_2x\)
グラフ2 \(y=\log_4x\)
グラフ3 \(y=\log_8x\)