121224 初版
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数列と関数の考えは、ほとんど違わないと思う。
高校で考察する関数も， 表を用いて書くのがよいと思う。

逆の考えは、とても基本的な考えである。
数学には逆の考えがふたつある。
ひとつは，逆の命題。
ふたつめは， 逆の対応 である。

\(f(x)=a^x\) の a を底と呼ぶ。
この頁では 0 < a < 1の場合を記す。
a > 1の場合は こちら

\(f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\)
\(x\) … -2 \(-\dfrac{3}{2}\) -1 \(-\dfrac{1}{2}\) 0 \(\dfrac{1}{2}\) 1 \(\dfrac{3}{2}\) 2 \(\dfrac{5}{2}\) 3 …
\(f(x)\) … 4 \(2\sqrt{2}\) 2 \(\sqrt{2}\) 1 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\) \(\dfrac{1}{8}\) …

この 逆関数 が，対数関数である。
指数関数\(a^x:\ x\mapsto a^x\)の対応が1対1であるから， 逆対応は逆関数になる。
すなわち，

aをr乗してxとなるとき，
rをaを底とするxの対数と呼び，\(\log_ax\)と書く。

新しい記号が出てきた。確認しよう。
\(\log_ax\)はあくまで，ひとつの数を表している。

\(f(x)=\log_\frac{1}{2}x\)
x … \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 1 \(\sqrt{2}\) 2 \(2\sqrt{2}\) 4 \(4\sqrt{2}\) 8 …
\(f(x)\) … 2 \(\dfrac{3}{2}\) 1 \(\dfrac{1}{2}\) 0 \(-\dfrac{1}{2}\) -1 \(-\dfrac{3}{2}\) -2 \(-\dfrac{5}{2}\) -3 …
関数では次のことに注意する。
定義域，値域，増減，最大・最小
0 < a < 1 のとき，\(f(x)=\log_ax\) について，
定義域は，特に何もかいていなければ，正の数である。
このことを，真数についての条件ということがある。
値域は，すべての実数である。
定義域のすべてにおいて，単調に減少する。
増減表も早いうちに学ぼう。  全日本増減表利用促進協議会
↘は減少を, ↗は増加を表す。
\(f(x)=\log_ax\)  0 < a < 1 のとき
x +0 … a … 1 … \(\dfrac{1}{a}\) … +∞
\(f(x)\) +∞ ↘ 1 ↘ 0 ↘ -1 ↘ -∞

グラフ
直線 x=0 を漸近線にもつ
式の上では，
0 < a < 1, \(f(x)=\log_ax\) として，
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=+\infty}\),  \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}\)
\(y=a^x\) と \(y=\log_ax\) は逆関数であるから，
2つのグラフは直線 y=x に関して対称である。
\(y=\log_ax\) と \(y=\log_\frac{1}{a}x\) の2つのグラフは
直線 y=0 に関して対称である。

a > 1の場合は こちら